История чисел и системы счисления

Рис. 1. Палочковая система счисления

С древнейших времен люди нуждались в подсчете окружавших их предметов. Единица значила наличие предмета, ноль – его отсутствие. Счисление было необходимо для передачи информации про количество одинаковых предметов: сколько было поймано рыбы, сколько человек в племени, сколько плодов собрано и т.д. Не стоит путать понятия «число» и «цифра». Цифры – это алфавит чисел, а число – это информация про количество. Как и для любого другого вида информации, для передачи числовой информации было необходимо, чтобы её понимали другие люди. Для этого были придуманы системы счисления – правила записи чисел с помощью правильного обозначения или расположения цифр. Различают позиционную и непозиционную системы счисления. В позиционной системе значения числа зависит от расположения цифры в нем, а в непозиционной – не зависит.

Самым древним способом подсчета была система, когда за единицу принимался один предмет, а больше чем единица считалось как «много». В те времена возникли математические понятия «больше», «меньше», «столько же». Так происходил обмен предметами: три рыбы меняли на три ножа. Большинство народов использовали для подсчета пальцы рук и считали до 10. Древние племена ходили босиком, поэтому также считали до 20, используя и пальцы ног. Некоторые племена считали не пальцы, а суставы, а также была 12-ричная система подсчета: большим пальцем руки считали фаланги остальных четырех пальцев, которых в сумме 12. Для подсчета больших чисел уже не хватало пальцев, тогда появилась потребность во вспомогательных приспособлениях: например, камушках, веревочных узелках, зарубках на глиняных и деревянных табличках. 

 

 

Рис. 2. Система счисления древних египтянДревние народы периода палеолита (10-11 тыс. лет до н.э.) использовали единичную или палочковую систему счисления, где числа записывались определенным количеством палочек-единиц (рис. 1). Но такая система счисления была неудобной и записи больших чисел занимали очень много места. Древние египтяне (2,5 тыс. лет до н.э.) пользовались непозиционной десятичной системой счисления. Единицы, десятки, сотни, тысячи и пр. обозначались определенными символами (рис. 2). Так, единица обозначалась палочкой, десятка – дугой, похожей на ярмо для быков, сотня – веревкой для измерения разлива Нила. Тысяча была цветущим лотосом, 10 000 – указательный палец, поднятый вверх, 100 000 – головастик, 1 000 000 – фараон, оно так и называлось «число фараонов». Самое большое число на то время было 10 000 000. Поскольку египтяне поклонялись богу Солнца – Ра, то это число обозначалось в виде встающего солнца.
В те же времена появились математические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Правда, умножение производилось сложно, способом последовательного удваивания чисел. У египтян также были дроби. Числителем была только единица, за исключением дроби 2/3. Дроби записывались теми же символами как натуральные числа, только сверху ставилась точка. Например, 1/10 записывалась как дуга (десятка) с точкой сверху. Дроби 1/2 и 2/3 имели собственные символы (рис. 2).
У древних римлян (2 тыс. лет до н.э.) тоже была десятичная система счисления, которой мы пользуемся и по сей день. Римская система счисления является самой известной из непозиционных систем. В этой системе есть такие цифры: единица (І), пятерка (V), десять (Х), пятьдесят (L), сто (C), пятьсот (D) и тысяча (M). Величина числа определяется суммой или разницей цифр в числе: если меньшая цифра стоит слева от большей, то она от неё вычитается, если справа – то прибавляется. Например, IV (четыре) состоит из I (единицы) и V (пятерки), единица находится слева от пятерки, значит, от V отнимаем I (5-1) – получается четыре. В VI (шестерке), наоборот, единица находится справа от пятерки, поэтому к V добавляем I, получается шесть. Повторяющиеся цифры складываются между собой. Не повторяются пять, пятьдесят и пятьсот. Остальные цифры могут повторяться не более 3 раз. Такая система счисления неудобна для математических операций и очень громоздкая. Например, число 1998 записывается как MCMXCVIII: 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
Также во многих культурах существовала алфавитная система счисления, в которой цифрами являлись буквы алфавита. Такая система счисления была у древних греков, армян, грузин и многих других народов Ближнего Востока, а также у славян. В IX веке братья-монахи Кирилл и Мефодий создали славянский алфавит и нумерацию (рис. 3) для перевода библейских книг. Такая система счисления была официальной на территории современной Украины и других славянских территорий вплоть до конца XVII века.
Непозиционные системы счисления неудобны в использовании. С их помощью тяжело производитьРис. 3. Алфавитная система Кирилла и Мефодия математические операции и записи больших чисел. Огромный прорыв в человеческой цивилизации произошел с открытием индийскими учёными позиционной системы счисления, которой мы пользуемся до сих пор. Позиционная система всегда имеет определенное основание – количество цифр, которые используются для данной системы счисления. Индийская система счисления имеет десятичное основание, потому что состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позже, примерно в 850 году, арабский учёный Мухаммед бен Муса ал-Хорезми детально описал индийскую систему счисления в своей книге, где также написал основные правила решения арифметических задач с помощью уравнений. Эта книга называлась «Китаб ал-Джебр» и с неё началась наука алгебра. Через 300 лет книгу перевели на латинский язык, и она стала первой книгой в Европе для изучения алгебры в современном её понимании. Так благодаря индийским учёным и ал-Хорезми появилась универсальная система счисления.
Об этом более подробно вы сможете узнать во время зимнего лагеря. Добро пожаловать в мир чисел и их применения в нашей жизни!
материал подготовлен Мельник Марией

Наш адрес и телефон

 

03062, г.Киев, пер.Щербакова, 1-б
тел. 427-07-95,
Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.
Отправить сообщение
Страничка на Facebook